De Monty Hall-puzzel

by gertekoo

In de Monty Hall-televisieshow wordt een spel gespeeld met drie deuren. Achter een van de deuren bevindt zich een auto, en achter elk van de andere twee staat een geit verborgen. De speler duidt een van deze deuren aan. Gastheer Monty opent een andere deur, met een geit erachter. En dan mag jij een van de twee ongeopende deuren openen, waarbij je wint wat erachter staat. Welke deur kies je het beste: die die je het eerst koos, of de overblijvende? Dus: blijf je bij je eerste keuze, of verander je?

Antwoord

Jij, de speler, moet een zo goed mogelijke beslissing nemen en wordt daarbij geconfronteerd met een gebrek aan kennis, en dus met onzekerheid. Men pakt zulke beslissingsproblemen onder onzekerheid het beste aan met technieken uit de waarschijnlijkheidsleer.

Het Monty Hall-probleem is een van die vragen waarop de regels van de waarschijnlijkheidsleer een antwoord geven dat schijnbaar tegen de intuïtie indruist. Men gaat er vaak van uit dat het er niet toe doet dat Monty een deur opent, of nog, dat dit openen van een deur geen nuttige informatie aanbrengt. Daarom wordt het probleem soms ook als een paradox gezien. We zullen zien dat deze intuitieve redenering verkeerd is.

Om te zien wat er aan de hand is, hebben we een beetje wiskunde nodig.

Nummer de deuren van 1 tot 3. We zullen voor het gemak aannemen dat jij deur 1 aangewezen hebt. We noemen X de deur waarachter de auto verborgen is. Je kent X niet, maar de mogelijke waarden zijn 1, 2, en 3. Vooraleer Monty een deur heeft geopend, heeft elk van deze mogelijkheden voor jou dezelfde waarschijnlijkheid:

p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=\frac{1}{3}.

We willen weten wat deze waarschijnlijkheden worden nadat Monty een deur heeft geopend. Hiervoor zullen we de regel van Bayes gebruiken.

We stellen de deur die Monty opent door O voor. De mogelijke waarden voor O zijn natuurlijk 2 en 3, want Monty moet een andere deur openen dan de deur 1 die jij hebt aangewezen.

Welke deur O Monty kiest, hang natuurlijk af van achter welke deur X de auto verborgen zit.

Wanneer X=2, dan kan Monty alleen nog deur 3 openen, want dat is de enige resterende deur waarachter een geit verborgen zit. We kunnen dit met voorwaardelijke waarschijnlijkheden schrijven als:

p(O=2\vert X=2)=0 en p(O=3\vert X=2)=1.

Hierin stelt p(O=o\vert X=x) de waarschijnlijkheid voor dat Monty deur O=o opent, wanneer de auto achter deur X=x staat.

Een analoge redenering gaat op wanneer X=3, want dan kan Monty alleen nog deur 2 openen:

p(O=2\vert X=3)=1 en p(O=3\vert X=3)=0.

En wanneer X =1, staat er een geit achter deur 2 en een achter deur 3, en dus heeft Monty de keuze tussen O=2 en O=3. Hier vinden we de belangrijkste bron van verwarring in het Monty-Hall-probleem, die vaak over het hoofd wordt gezien: de beschrijving van het probleem is onvolledig omdat nergens wordt verteld hoe Monty de keuze maakt tussen deze twee opties. En dat is nochtans informatie die jij, de speler, nodig hebt om het probleem eenduidig op te lossen.

Een eerste mogelijkheid

Het is bijvoorbeeld mogelijk dat Monty het toeval laat bepalen of hij in dat geval (X=1) kiest voor deur 2 of deur 3, bijvoorbeeld door een fair muntstuk op te gooien. In dat geval hebben we meteen:

p(O=2\vert X=1)=\frac{1}{2} en p(O=1\vert X=3)=\frac{1}{2}.

Met de regel van Bayes kunnen we nu de gezochte waarschijnlijkheden p(X=x\vert O=o) vinden: p(X=x\vert O=o) is de waarschijnlijkheid dat de auto achter deur X=x staat, wanneer jij ziet dat Monty deur O=o opent, met x=1,2,3 en o=2,3. De formules hiervoor zijn:

p(X=x\vert O=o)=p(X=x)p(O=o\vert X=x)/p(O=o),

waarin we de noemer p(O=o) ook kunnen schrijven als (wat nu volgt is de zogenaamde wet van de totale waarschijnlijkheid):

p(X=1)p(O=o\vert X=1)+p(X=2)p(O=o\vert X=2)+p(X=3)p(O=o\vert X=3).

Vullen we alle gekende gegevens in deze formules in, dan vinden we bijvoorbeeld:

p(X=1\vert O=2)=\frac{1}{3} en p(X=3\vert O=2)=\frac{2}{3}

en

p(X=1\vert O=3)=\frac{1}{3} en p(X=3\vert O=1)=\frac{2}{3}.

Het wordt dus twee keer waarschijnlijker dat de auto eerder niet dan wel achter deur 1 staat, zodat, welke deur Monty ook kiest, jij het beste van deur verandert.

Je kunt dit ook min of meer intuïtief inzien zonder de berekeningen uit te voeren. Neem bijvoorbeeld aan dat Monty kiest voor deur 2. Die keuze heeft twee mogelijke verklaringen. De eerste is dat de auto achter deur 3 staat, zodat Monty geen andere keuze heeft. De tweede is dat de auto achter deur 1 staat, en dan is Monty’s keuze het resultaat van tossen geweest. De sterkste verklaring is degene die Monty’s keuze het meest waarschijnlijk maakt, namelijk dat de auto achter deur 3 staat.

Een andere mogelijkheid

Maar het is best mogelijk dat Monty andere manieren heeft om de keuze tussen deur 2 en deur 3 te maken. Stel dat jij bijvoorbeeld zou weten dat Monty in het geval dat X=1 steevast deur 2 zal kiezen:

p(O=2\vert X=1)=1 en p(O=3\vert X=1)=0.

Wanneer Monty dan bijvoorbeeld kiest voor deur 3, dan weet jij met zekerheid dat de auto niet achter deur 1, en evenmin achter deur 3 kan staan. Je weet dan zeker dat je voor deur 2 moet kiezen.

Wanneer hij echter voor deur 2 kiest, dan leert de regel van Bayes ons dat (probeer ook hiervoor een intuïtieve verklaring te geven):

p(X=1\vert O=2)=\frac{1}{2} en p(X=3\vert O=2)=\frac{1}{2},

en in dit geval maakt het niet uit of we van deur veranderen of niet: beide mogelijkheden zijn nu even waarschijnlijk geworden.

Samengevat

Als je eenmaal weet op welke manier Monty een keuze zal maken tussen de deuren die hij kan openen, dan kun je die informatie gebruiken om iets meer te weten te komen over waar de auto staat.

De grote moeilijkheid bij de Monty Hall-puzzel is echter dat hierover niks wordt gezegd: het probleem is onvoldoende duidelijk omschreven, en het heeft daarom geen eenduidige oplossing. Wellicht is het deze mogelijkheid tot verwarring die van de puzzel een paradox heeft gemaakt. Maar zodra we vastleggen hoe Monty z’n keuze maakt, verdwijnt de paradox, en zijn de conclusies die de waarschijnlijkheidsleer ons aanreikt ook intuïtief aanvaardbaar.

Een verwant probleem

Als je deze redenering hebt begrepen, dan kun je meteen je tanden zetten in een andere, zeer gelijkaardige, puzzel uit de waarschijnlijkheidsleer: het probleem van de drie gevangenen.

Van drie terdoodveroordeelden A, B, en C krijgt er een gratie, en zullen de anderen worden terechtgesteld. Wie gratie krijgt, is door het toeval bepaald, waarbij elke veroordeelde gelijke kansen had. Alles wat een cipier aan veroordeelde A wil vertellen is de naam van een van de andere twee gevangen, waarbij hij zegt dat die zal worden terechtgesteld. Geeft dit aan gevangene A meer informatie over of hem gratie zal worden verleend?

Advertisements